\section{微分变分原理}
\begin{theorem}[][达朗贝尔-拉格朗日原理]
    \textbf{D'Alembert-Lagrange principle}\quad 在一个受约束的系统中，
    如果系统的真实运动是由某些力引起的，那么在任何时刻，系统所做的虚功等于零
    。这意味着在虚位移下，系统的总力（包括约束力）所做的功为零。
\end{theorem}

\begin{equation}
    \sum_{\nu=1}^N(\vecF_\nu +\vecG_\nu - m_\nu\veca_\nu)\cdot\delta\vecr_\nu=0
\end{equation}

其中$\vecF$为外力,$\vecG$为约束反力, $m\veca$为惯性力,$\delta\vecr$为\textbf{虚位移}.

\begin{definition}[][虚位移]
    \textbf{virtual displacement}\quad 指的是在给定时间瞬间，系统在保持约束条件不变的情况下，可能发生的位移。
    虚位移并不涉及时间的变化，因此与实际的位移（即物体随时间的真实运动）有所不同。

    虚位移必须遵循系统的约束条件。例如，在一个受约束的机械系统中，虚位移只能发生在满足约束条件的情况下。

    注意虚位移前面的符号是$\delta$, 而不是$\Delta$, 或者$d$。因此它是一个\textbf{变分}.

\end{definition}

\begin{example}
    两个质量为$m_1$和$m_2$的质点以理想的细绳相连,细绳跨过光滑的杆,
    2个质,点在重力作用下在铅垂平面内运动(\figref{fig:D’Alembert’SPrinciple120240813192911}),求2个质点的加速度.
\end{example}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure/D’Alembert’SPrinciple120240813192911.jpg}
    \caption{达朗贝尔原理1\label{fig:D’Alembert’SPrinciple120240813192911}}
\end{figure}

\begin{solution}
    根据虚功原理
    \begin{equation*}
        (m_1g-m_1\ddotx_1)\delta x_1 +(m_2g-m_2\ddotx_2) \delta x_2=0
    \end{equation*}
    由约束条件:绳长固定
    \begin{equation*}
        x_1+x_2 +\pi R = C
    \end{equation*}
    则$\delta x_1 = \delta x_2 = \delta x$, $\ddotx_1 = -\ddotx_2 = -\ddotx$
    \begin{equation*}
        [(m_1-m_2)g - (m_1+m_2)\ddotx]\delta x=0
    \end{equation*}
    $\delta x$是任意变分, 则
    \begin{equation*}
        \ddotx = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g
    \end{equation*}
\end{solution}

\begin{corollary}
    若两力学在任意相同虚位移上所做元功相等, 则两力系等价, 可以互相替换
\end{corollary}

\begin{theorem}[][若尔当原理]
    \textbf{Jordan's principle}\quad 所有可能运动中, 只有真实的运动满足以下方程:
    \begin{equation}
        \sum_{\nu=1}^N(\vecF_\nu +\vecG_\nu - m_\nu\veca_\nu)\cdot\delta\vecv_\nu=0
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[][高斯原理]
    \textbf{Gaussian principle}\quad 所有可能运动中, 真实的运动的拘束($Z$)最小:
    \begin{equation}
        Z = \frac12\sum_{\nu=1}^Nm_\nu\left(\veca_\nu-\frac{\vecF_\nu}{m_\nu}\right)^2
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \delta Z = 0
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{example}
    用高斯原理求解上述问题.
\end{example}
\begin{solution}
    \begin{equation*}
        Z = \frac12 m_1(a-g)^2+\frac12 m_2(-a-g)^2
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \delta Z = 0 \Rightarrow a = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g
    \end{equation*}
\end{solution}

\section{静力学}
\begin{theorem}[][虚位移原理]
    \textbf{virtual displacement principle}\quad
    系统处于平衡的充要条件是任意时刻主动力在任意虚位移上所做的元功为0.
\end{theorem}
\begin{Proof}
    必要性:由达朗贝尔原理, 平衡状态下$veca$为0, 立刻得证.

    充分性:系统的运动由初始位置和速度唯一确定.
\end{Proof}

\begin{theorem}[][刚体平衡]
    \textbf{rigid body balance}\quad 刚体的平衡条件为主向量和以任意选定基点的主矩为0.
\end{theorem}

\begin{theorem}[][伐利农定理]
    \textbf{Vallinon's theorem}\quad 如果力系有合力,则这个合力大小等于主向量,而它相对任意基点的矩等于给定力系相对该基点的主矩.
\end{theorem}

